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14. 剪绳子


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# 题目链接

力扣 (opens new window)

# 题目描述

给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]k[1]...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
1
2
3

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
1
2
3

# 解题思路

推导规律

就是找规律,尝试着写出 n 取不同的值时对应的乘积,可发现规律:当 n>6 时,ans(n) = ans(n-3) x 3

动态规划

大数越界情况不适用

  1. 首先定义状态:dp[i]表示长为i的绳子的最大乘积
  2. 状态转移方程:dp[i] = max(j段绳子最大值 * i - j段绳子最大值)
// 动态规划方法
func cuttingRope(n int) int {  
	dp := make(map[int]int)
	dp[1] = 1
	for i := 2; i < n+1; i++ {
        // 切割点为j,j属于[1,i],这里参照了他人的优化技巧
		for j := 1; j < (i/2 + 1); j++ {
			dp[i] = max(dp[i], max(j, dp[j])*max(i-j, dp[i-j]))
		}
	}
	return dp[n]
}

func max(i, j int) int {
	if i > j {
		return i
	}
	return j
}


// 递归,大数越界的情况下不适用动态规划
func cuttingRope(n int) int {
	switch n {
	case 2:
		return 1
	case 3:
		return 2
	case 4:
		return 4
	case 5:
		return 6
	case 6:
		return 9
	default:
		return cuttingRope(n-3) * 3 % 1000000007
	}
}
1
2
3
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5
6
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